Тема. Статистичні дані. Способи подання
даних. Частота. Середнє значення
Мета:
навчальна: сформувати в учнів уявлення про
предмет вивчення математичної статистики. Працювати над усвідомленим розумінням змісту понять:
вибіркова сукупність або вибірка; статистичний ряд; частота вибірки, відносна
частота вибірки; центральні тенденції вибірки (мода, медіана, середнє
значення), полігон частот та гістограма.
Працювати над формуванням умінь: наводити приклади подання статистичних даних у
вигляді таблиць та графіків (гістограм);
розв'язувати задачі, що передбачають подання статистичних даних у вигляді
таблиць та графіків та знаходити центральні тенденції вибірки;
виховна: виховувати працьовитість, акуратність та уважність при оформленні письмових завдань, активність,
інтерес до математики;
розвиваюча: розвивати пам'ять, увагу, логічне мислення, розумову діяльність,
уміння учнів робити порівняльний аналіз та систематизувати матеріал, спонукати
до пізнавальної діяльності;
Тип уроку. Урок подачі нової
теми.
Методи: наочно-ілюстрований, репродуктивний, частково-пошуковий,
передбачення, порівняльний аналіз, узагальнення
Міжпредметні зв’язки. Математика – історія, економіка.
Обладнання. Дошка,
відеопроектор, екран, опорний конспект,
Основні поняття та терміни: варіаційний ряд, вибірка,
розмах вибірки, мода, частота, відносна частота, медіана, середнє значення, полігон, гістограма.
Епіграф: «Статистика знає
все»
І.Ільф, Є.Петров
План уроку
1 Організація
класу. Створення емоційного настрою (2
хв.)
2 Перевірка
домашнього завдання (3 хв.)
3 Мотивація
навчальної діяльності (5 хв.) «Історична довідка»,
кросворд
4 Сприймання
і усвідомлення нового матеріалу (10 хв.) Лекція
у
супроводі опорного конспекту та комп’ютерної
презентації
5 Узагальнення
і систематизація нового матеріалу (20 хв.)
1. Коментоване розв’язування задач .
2.
Виконання індивідуального завдання.(робота в парах)
6 Підсумок
(3 хв.)
7 Домашнє
завдання. Оцінювання уроку (2 хв.)
Хід уроку
І. Організація класу. Створення емоційного настрою
Вчитель. Добрий день, учні та шановні гості! Я радо вітаю вас на нашому
уроці. Щиро сподіваюсь на те, що вам буде цікаво. Звертаюсь до учнів: не
хвилюйтесь, нічого не бійтеся, працюйте в звичайному режимі, будьте активними і
все у нас вийде. Найголовніше – усвідомити новий матеріал та навчитися
використовувати його для розв’язування різноманітних завдань. Бажаю успіху!
Отже, давайте запишемо тему нашого уроку.
Статистика.Статистичні
дані. Способи подання даних.
Сьогодні на уроці ми з вами визначемо що називаеться математичною
статистикою, розвиватимемо навики знаходження її характеристик.,навчимося
будувати графіки, побачимо, як? де? для
чого? застосовується статистика .
Вчитель. Перед тим, як почати урок, давайте собі уявімо, що ми від нього
чекаємо?
Метод передбачення
Я навожу вам
приклади, так званих, «передбачень» на наш урок. Доповніть ці «передбачення»
такими, якими б хотілося вам особисто.
Ú Я передбачаю, що
на сьогоднішньому уроці мені буде цікаво.
Ú Я передбачаю, що
сьогодні я дізнаюся щось нове.
Ú Я передбачаю, що
буду активно і плідно працювати весь урок.
Вчитель. Дякую вам і
сподіваюся, що ваші передбачення справдяться! Що ж, починаємо наш урок!
ІІ. Перевірка домашнього завдання
Вчитель. Перед тим, як почати розгляд нової теми, нам з
вами необхідно пе
ревірити домашнє
завдання. Ми зробимо це наступним чином:
Виконання тестових завдань
Варіант 1.
1. Яка з
подій є випадковою?
А.
довжина гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами 3 см і 4 см
Б.
виграш 5 грн у лотерею;
В.
довжина кола радіусом 3 см ;
Г.
настання осені після літа.
2. Яка з
подій є неможливою?
А.
настання понеділка після неділі;
Б.
випадання снігу взимку;
В.
виймання з ящика з червоними кульками білу кульку;
Г.
виграш 100 грн у лотерею.
3. Яка з
подій є вірогідною?
А.
випадання двох шісток на двох гральних кубиках при їх киданні;
Б.
випадання герба при одному киданні монети;
В.
настання неділі одразу після понеділка;
Г.
настання зими після осені.
4.Яка
ймовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок, що
дорівнює парному числу?
А.
. Б. 3. В. 2. Г.
.
5.
Кидають дві однакові монети. Яка ймовірність того, що випадуть два герби?
А. 1. Б. 0. В.
. Г.
6. У
коробці лежать 1 зелена, 7 чорних і 12 білих кульок. Із коробки навмання беруть
одну кульку. Яка ймовірність того, що ця кулька біла?
А.
12. Б.
. В.
. Г.
Варіант 2.
1.Яка з подій
є випадковою?
А. випадання герба при одному киданні монети;
Б. настання
літа після весни;
В. площа
прямокутника зі сторонами 7 см
і 8 см ;
Г. якщо один
катет прямокутного трикутника дорівнює 3 другий – 4 , то гіпотенуза – 5.
2. Яка з подій
є неможливою ?
А. випадання
герба при одному киданні монети;
Б. випадання
двох шісток на двох гральних кубиках при їх киданні;
В. випадання
снігу взимку;
Г. виймання з
ящика з чорними кульками чорного паралелепіпеда.
3. Яка з подій
є вірогідною?
А. випадання
дощу восени;
Б. настання
осені після зими;
В. виграш 1
млн. грн. у лотерею;
Г. випадання
числа від 1 до 6 при киданні грального кубика.
4.Яка
ймовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число більше
трьох очок?
А. 4. Б.
. В. 3. Г. 1.
5. Кидають дві
однакові монети. Яка ймовірність того, що випадуть герб і цифра?
А. 1. Б. 0.
В.
. Г.
6. У коробці
лежать 1 зелена, 7 чорних і 12 білих кульок. Із коробки навмання беруть одну
кульку. Яка ймовірність того, що ця кулька чорна?
А.
. Б. 7. В.
. Г.
Відповіді до тестів.
1варіант.
1б
1а
2в
2г
3г
3г
4а
4б
5г
5г
6г
6а
Взаємоперевірка (учні обмінюються зошитами та перевіряють
домашнє завдання один одного. Оцінюється правильність, акуратність та
раціональність обраного метода розв’язання).Кожне завдання оцінюється 1
балом.На протязі уроку ми з вами будемо заробляти бали і записувати їх на
картки, а в кінці підрахуємо.
ІІІ. Мотивація навчання
нового матеріалу
«Історична довідка»
«Статистика знає
все» - такими словами починається друга частина роману І.Ільфа і Є.Петрова
«Дванадцять стільців». Щоб підкреслити значення статистики у повсякденному
житті, наведу приклад прогнозування результатів президентських виборів у США
1936 року. Тоді кандидатами на виборах були Ф.Рузвельт і А.Ландон. Редакція
одного вельми поважного журналу вирішила провести опитування виборців за
телефонними довідниками. По всій країні були розіслані понад 10 мільйонів
листівок із проханням назвати прізвище майбутнього президента. Згодом журнал
проінформував, що на майбутніх виборах президентом США з великою перевагою буде
обрано А.Ландона.
Паралельне опитування
здійснили соціологи Дж. Геллап і Е. Роупер, опираючись на вибірку, яка
нараховувала лише 4 000 респондентів. Незважаючи на те, що редакція
журналу опитала
Незважаючи на те,
що редакція журналу опитала 10 мільйонів виборців, витратила величезні кошти на
розповсюдження листівок, збирання та обробку даних, їх прогноз виявися хибним,
бо опирався на думку лише тих виборців, які мали телефони. Прогноз же
соціологів майже збігся з результатами виборів.
Перші статистичні
дослідження були проведені в Англії та Німеччині. У середині ХVІІ
ст. в Англії виник науковий напрямок, який отримав назву «політична
арифметика». Його започаткували У.Петті (1623 – 1687) та Дж.Граунт (1620 –
1674), які на основі вивчення інформації про масові суспільні процеси
намагалися відкрити закономірності суспільного життя. Поряд зі школою
«політичної арифметики» в Англії розвивалася школа описової статистики, або
«державознавство», в Німеччині. Розвиток «політичної арифметики» та
«державознавства» сприяв появі науки статистики. Термін «статистика» походить
від латинського слова status, яке в перекладі
означає «стан» (речей, явищ).
Вчитель. Тепер я пропоную вам відгадати кросворд. Він
не зовсім звичайний: деякі слова або може, навіть й усі, ви вже чули, але не
уявляли собі, що вони мають відношення до математики. Перед кожним з вас лежать
аркуші, на яких питання до кросворду. Ви уважно читаєте їх, підіймаєте руку й
відповідаєте на питання, але обов’язково називаєте його номер. Якщо ви
правильно розгадаєте кросворд, то у виділеному стовпчику зможете прочитати
прізвище вченого, без якого не було б нашого сьогоднішнього уроку.
Вчитель. До речі, вам буде завдання: деякі
терміни, які є основними при вивченні цієї теми не зустрічаються у нашому
кросворді (вам необхідно буде доповнити їх та записати на дошці), а інші –
зайві. Для цих слів треба дати відповідь на таке питання: з якого розділу, де
зустрічаються?
1м
|
о
|
д
|
9а
|
|||||||||||||||
2р
|
о
|
з
|
м
|
а
|
х
|
|||||||||||||
3м
|
е
|
д
|
і
|
а
|
н
|
а
|
||||||||||||
4с
|
е
|
р
|
е
|
д
|
н
|
є
|
а
|
р
|
и
|
ф
|
м
|
е
|
т
|
и
|
ч
|
н
|
е
|
|
5й
|
м
|
о
|
в
|
і
|
р
|
н
|
і
|
с
|
т
|
ь
|
||||||||
6ч
|
а
|
с
|
т
|
о
|
т
|
а
|
||||||||||||
7п
|
о
|
л
|
і
|
г
|
о
|
н
|
||||||||||||
8м
|
о
|
д
|
у
|
л
|
ь
|
Запитання до кросворда
1. Її показують манекенниці на подіумі, навіть існують її тижні у
Парижі.
2. Серед птахів - він
найбільший у альбатроса (до 325 см). Цей термін
використовується також у
боксерів.
3. Відрізок, який поєднує вершину трикутника з серединою
протилежної
сторони.
4. Сума чисел, поділена на їхню кількість.
5. Вона буває малоймовірною, достовірною. Її величина не може
бути
більшою за 1.
6. Фізична величина, обернена до періоду.
7. Ділянка місцевості, обладнана для проведення навчальних
стрільб,
випробовувань озброєння
й техніки. В математиці цей термін означає
многокутник.
8. Відстань від початку відліку до точки, яка зображує це число на
координатній прямій.
Записується, наприклад, так │х│.
9. Вчений, який вперше ввів термін «статистика».
Примітка. Зайві слова:
ймовірність, модуль. Ймовірність зустрічається у розділі «Теорія ймовірностей»,
модуль – «Координати у просторі», «Рівняння», «Нерівності».
Не вистачає слів: варіанта,
гістограма, варіаційний ряд, об’єм.
ІV. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу
Вчитель. На сьогоднішнім уроці ми з вами
розглянемо математичну статистику та її основні поняття: вибірка, варіаційний
ряд, розмах, мода, медіана, середнє значення , полігон, гістограма; навчимося
складати частотні таблиці, знаходити міри центральної тенденції вибірки,
будувати полігон частот та гістограми за допомогою комп’ютера.
Статистика
– це наука про отримання, оброблення й аналіз
кількох даних, які характеризують масові явища Але спочатку послухайте повідомлення
про людину, яка вперше використала слово «статистика». Саме його прізвище
виявилося ключовим при відгадуванні кросворду.
Учень 1. Ахенваль – німецький філософ, економіст, історик, юрист, педагог, один з
засновників статистики.
Готфрід Ахенваль народився 20 жовтня 1719
року в Ельбінзі(Німеччина) у родині бізнесмена.
З 1738 по 1743 роки навчався у Йєнському
університеті ім. Ф.Шиллера, університеті Галле Віттенберг та Лейпцігському
університеті.
З
1746 року читав лекції студентам у Марбурському університеті. З 1748 року У Гьотінгенському університеті –
професор філософії, права. Він викладав на кафедрі історії та статистики, яку ж
сам і заснував.
Ахенваль вважається засновником статистики
як науки тому, що він не тільки сформулював точне означення всіх її складових
та визначив її задачі та цілі, а й тому, що він перший ввів у науковий обіг
слово «статистика» в 1749 році.
Помер Г.Ахенваль 1 травня 1772 року у
місті Гьотінгем.
Вчитель. Для того, щоб ви
поглибили своє розуміння змісту і суті математичної статистики, Ігор підготував
повідомлення з історії її виникнення.
Учень 2. Математична статистика, як один з розділів прикладної
математики, започаткував швейцарський математик Якоб Бернуллі (1654–1705).
Значних результатів у цій царині досяг також відомий український математик
Віктор Якович Буняковський (1804–1889).
Він народився в містечку Бар на Вінничині. Після навчання у Парижі працював
професором у Петербурзі. Буняковький є автором понад 100 наукових праць, написаних в
основному французькою мовою. Був почесним членом усіх університетів Російської
імперії, віце-президентом Академії наук, головним експертом уряду з питань
статистики страхування.
Вчитель. Ви, очевидно,
не раз слухали дані стану погоди в різних куточках планети, результатів
виборів, соціальних опитувань. Це
статистичні дані.
Статистичні дані
дозволяють не тільки охопити картину певного питання на даний час, а й
планувати необхідні дії на майбутнє. Так, статистичні дані про зайнятість
населення дозволяють визначити, яку кількість спеціалістів і якої кваліфікації
слід готувати, у якому регіоні варто споруджувати те чи інше підприємство.
Методи збирання, обробки,
інтерпретації даних вивчає окремий розділ прикладної математики – математична статистика.
Постановка проблеми: швейній майстерні треба знати, скільки
чоловічих пальт і яких розмірів треба пошити. Як це з’ясувати?
Шляхи вирішення
проблеми: опитати всіх надто довго і дорого. Тому роблять вибірку: опитують
вибірково кілька десятків або сотень чоловіків. Припустимо, що, опитавши 50
чоловіків, їх розміри записали у таблицю. Утворилася вибірка з 50 значень
(даних). Для зручності її групують у класи (за розмірами) і відмічають, скільки
значень вибірки містить кожний клас.
Розмір пальта
|
42
|
44
|
46
|
48
|
50
|
52
|
54
|
Кількість чоловіків
|
3
|
4
|
5
|
9
|
15
|
8
|
6
|
Такі таблиці називаються
частотними. В них числа другого ряду
– частоти; вони показують як часто зустрічається у вибірці ті чи інші її
значення.
Статистика оперує
певними поняттями (використання опорного конспекту).
Варіаційний ряд
|
Це спосіб запису вибірки, за якого її
елементи впорядковані за величиною.
|
Варіанта
|
Одне із значень вибірки
|
Розмах вибірки
|
Це різниця між найбільшим і найменшим
елементами вибіркової сукупності:
|
Частота
|
Число, яке показує, скільки разів
повторюється елемент вибірки
|
Відносна частота
|
Відношення відповідної частоти до
величини вибірки, записане у відсотках
|
Об’єм вибірки
|
Кількість елементів у вибірці
|
Медіана вибірки
|
Той її елемент, який поділяє варіаційний
ряд навпіл. Причому, якщо число елементів у вибірці парне, медіана – середнє
арифметичне двох чисел, які поділяють цей ряд навпіл
|
Мода вибірки
|
Значення того елемента, який трапляється
найчастіше. Якщо таких чисел декілька, то вибірка – мультимодальна
|
Середнє значення вибірки
|
Число, яке дорівнює середньому
арифметичному усіх елементів вибірки
|
Полігон частот
|
Ламана з вершинами у точках (ai, bi), i = 1, 2, …, k. Тут ai, - значення і-ї варіанти, а bi – відповідна цій варіанті частота.
|
Гістограма
|
Стовпчаста діаграма (від грецьких histos
– стовп і gramma – написання)
|
Приклад
|
Економіст, аналізуючи тарифні розряди працівників одного з цехів заводу,
вибрав документи 20 робітників і склав статистичну таблицю розподілу вибірки.
Полігон частот
Гістограма
|
Вчитель. Тепер давайте повернемося до нашого
кросворду і назвемо, яких понять математичної статистики не вистачає.
(Учні відповідають)
V. Узагальнення і систематизація
вивченого матеріалу
1.
Коментоване розв’язування задач
Вчитель.
Кожній парі було задано домашнє завдання провести деякі
дослідження. Тому давайте кожен для своєї вибірки знайде такі характеристики:
Мода
Медіана
Середнє значення
Побудувати за допомогою комп’ютера гістаграму
1пара (4-6б.)
Провести опитування серед
учнів 2 класу . Який у мене улюблений колір?
2пара(7-9б)
Провести опитування
жителів своєї вулиці, про кількість енергозберігаючих лампочок.
3пара(7-9б)
Визначити розмір взуття учнів
3 класу.
4 пара(7-9б)
Визначити яка кількість
дітей і якого віку відвідують дитячий садок.
5учень (10-12б)
Визначити яка кількість учнів нашої школи мають різний рівень навчальних
досягнень
Завдання
2.
На заводі протягом семигодинного
робочого дня робітник виготовляв: 10, 8, 11, 12, 11, 9, 7 деталей.
Знайти моду,
медіану, середнє значення.
Побудуйте
гістограму.
Відповідь: мода — 11,
медіана — 10, середнє значення - 9
.
години
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
кількість деталей
|
10
|
8
|
11
|
12
|
11
|
9
|
7
|
Завдання
3.
Група учнів у кількості 20 чоловік
підтягувалася на перекладині. Результати підтягування були такі: 12, 14, 9,
10, 10, 12, 11, 8, 9, 7, 10, 10, 13, 15, 10, 9, 14, 10, 11, 13. Знайти моду,
медіану.
Скласти частотну таблицю та побудувати
полігон.
Відповідь: мода — 10, медіана — 10.
Кількість
учнів
|
1
|
1
|
3
|
6
|
2
|
2
|
2
|
2
|
1
|
Кількість
підтягувань
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
Завдання 4. Як ви гадаєте,
який середній зріст учнів вашого класу? Що для цього треба зробити?
(Знайти середнє арифметичне всіх значень). Чи обов’язково для
цього впорядковувати вибірку?
Давайте перевіримо!
(На слайді записані дані зросту учнів класу. Необхідно знайти
середнє арифметичне цих чисел)
(см): 171, 145, 150, 169, 153, 163, 152, 171, 156, 163, 168, 175.
Вірно, середній зріст учнів вашого класу – 161см.
Завдання 5. А який «наймодніший» місяць
для народження у всіх присутніх? Як це визначити?
(Скласти частотну таблицю у зошиті)
Місяць
|
Сі-чень
|
Лю-тий
|
Бере-зень
|
Кві-тень
|
Тра-вень
|
Чер-вень
|
Ли-пень
|
Сер-пень
|
Вере-сень
|
Жов-тень
|
Листо-пад
|
Гру-день
|
Кількість
днів народ-ження
|
Що в нас вийшло?
Завдання 4. Завдання ЗНО та ДПА (9клас), в яких зустрічаються відомості статистики.
№1.(ЗНО 2014,
завд.6) В уривку художнього твору 47 слів
мають різну кількість букв. Укажіть моду (мода - це те
значення випадкової величини, яке зустрічається найчастіше) даного розподілу за
допомогою зображеного на рисунку полігона частот.
А
|
Б
|
В
|
Г
|
Д
|
2
|
4
|
5
|
8
|
10
|
№2. (ЗНО 2011, завд.20) О шостій годині ранку визначено температуру на
десяти метеостанціях. Отримані дані відображено у таблиці.
Температура
(у градусах)
|
1
|
3
|
4
|
Х
|
Кількість
метеостанцій
|
2
|
3
|
4
|
1
|
Визначте
х, якщо середнє арифметичне всіх цих даних дорівнює 3,5°С.
Відповідь:
(х=8)
№3. (ДПА 9кл.
2013, в.14, завд.1.7)
Укажіть
медіану вибірки 7, 12, 15, 17, 19, 23, 25, 31.
А) 17; Б) 19; В) 18; Г) 20
№4 (ДПА 9кл.
2015, в.25, завд.1.4)
Протягом
восьмигодинного робочого дня робітник щогодини виготовляв 12; 10; 8; 11; 9;
12; 10; 8 деталей. Знайдіть середнє значення даної вибірки.
А) 11; Б) 9; В) 10; Г) 12.
VI. Підсумок уроку.
Вчитель. Сьогодні ми з
вами розглянули математичну статистику та її основні поняття. Мені б хотілося
вам поставити питання: чи справдилися ваші сподівання? Якщо ні, то як ви
гадаєте, чому?
Ви сьогодні плідно працювали, найактивнішими були…, вони отримують
наступні оцінки…
VII. Домашнє
завдання
підручник
Вчитель. Ви отримуєте незвичайне домашнє завдання: вам необхідно дослідити температурні показники повітря до наступного уроку (за годинами:
наприклад, вранці перед школою, потім після приходу зі школи і перед сном),
порівняти їх з показниками минулого року (для цього необхідно зайти в Інтернет,
якщо вдома немає підключення – в комп’ютерному класі). Для всіх даних треба
створити частотну таблицю, знайти центральні тенденції вибірки та побудувати
гістограму.
2.(ЗНО
2010, завд.14) Діаграма, зображена на рисунку, містить
інформацію про кількість опадів (у мм), що випали упродовж року в місті N.
Користуючись діаграмою, установіть, які з наведених тверджень є правильними.
І. Улітку опадів
випало менше, ніж навесні.
ІІ. У вересні
опадів випало у 1,5 рази більше, ніж у жовтні.
ІІІ. Середня
місячна кількість опадів за рік становить 19 мм.
