Тема.
Застосування інтегралу в фізикі і
математикі.
Мета.
Сформувати вміння використовувати визначений
інтеграл для розв’язування задач з фізики. Розвивати логічне мислення.
Виховувати культуру
математичної мови і запису.
Тип уроку.
Урок формування вмінь і навичок.
Хід уроку.
1.Перевірка домашньої роботи.(зібрати зошити).
2.Актуалізація
опорних знань:
а) знайти
невизначений інтеграл;
б)застосування інтегралу:
1) в математиці:
площа криволінійної трапеції, об’єм фігури обертання;
2)фізиці: кількість теплоти,
переміщення, маса, робота.
3. Розвязування задач.
Задача 1.
Тіло кинуто з поверхні землі вертикально
вгору зі швидкістю ʋ(t)=49-9,8t(м/с). Знайти найбільшу висоту піднімання тіла.
Розв’язання .
Тіло досягне най більшої висоти,
в такий момент часу , коли ʋ=0. Отже, 49-9,8t=0; 9,8t=49; t=5c.
Тепер можемо знайти висоту. H= ʃ⁵₀ ʋ(t)dt; h= ʃ₀⁵ (49-9,8t)dt=(49t-9,8t²:2)|₀⁵ =49∙5-9.8∙25:2=4,9*25=122,5
Відповідь: 122,5м.
Задача 2.
Щоб стиснути пружину на 0,02м
необхідно виконати роботу 16Дж. На яку довжину можна стиснути пружину,
виконавши роботу 16Дж?
Розв’язання.
Знаючи величину стискання пружини
0,02м необхідно виконати роботу 16Дж. Знайдемо коефіцієнт пружності пружини.
A=ʃₐ F(x)dx; A= ʃ₀ kxdx=kx²:2 =16
Kx²=32;
0,0004k=32; k=80000H/M.
А тепер за цією ж формулою
обчислимо на скільки
Стиснено пружину.
100=ʃ₀ͯ80000xdx=40000x²=100; x²=1/400; x=1/20=0,05м.
Відповідь: х=0,05м=5см.
4.Самостійна робота. Робота в парах.
(завдання з задачами на кожну
парту).
№1 на 4-6 балів.
Записати площу заштрихованої
фігури.
№2 на 7-9 балів.
Тіло рухається прямолінійно із
швидкістю ʋ(t)=8t+2(м/c). Знайти шлях
,який пройшло тіло за другу секунду.
Розв’язання.
S=ʃ²₁(8t+2)dt=(4t²+2t)ǀ₁²=16+4-4-2=14м.
Відповідь: S=14м.
№3 на 7-9 балів.
Знайти масу неоднорідного стержня
завдовжки 50см,якщо його лінійна густина змінюється за законом ρ(l)=4l+4(кг/м).
Розв язання.
m=ʃ₀(4l+4)dl=(2l²+4l)ǀ₀=0,5+2=2,5кг.
Відповідь: m=2,5кг.
№4 на 7-9 балів.
Знайти кількість електрики, що
проходить через поперечний переріз провідника за 5с, якщо сила струму змінюється
за законом I(t)=2t+3(A).
Розв’язання.
Q(t)=ʃ₀⁵(2t+3)dt=(t²+3t)ǀ₀⁵=25+15=40кл.
Відповідь: Q(t)=40кл.
№5 на 7-9 балів.
Коефіцієнт пружності пружини
1000Н/м. Знайти роботу, яку необхідно виконати, щоб розтягнути її на 0,04м.
Розв’язання.
A=ʃ₀1000xdx=500x²ǀ₀=500*0,0016=0,8 Дж.
Відповідь: А=0,8Дж.
№6 на 10-12 балів.
Обчислити роботу, яку потрібно
виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м, що має квадратний переріз.
Густина води 1000кг/м³.
Розв’язання.
Сила, що діє на дно і стінки ями
визначається за формулою F=ρgv; v=sh; s=2*2=4м².
A=ʃ₀⁴4ρg(4-x)dx=3,1∙10⁵Дж.
Відповідь: А=3,1∙10⁵Дж.
5.Доповідь. Історія інтегралу.
Поняття інтеграла і інтегрального
числення виникли при необхідності обчислювати площі довільних фігур, об’єми
тіл.
Знайдемо площу S криволінійної
трапеції, що обмежена функцією у=f(x). Для цього розділимо основу нашої
трапеції на рівних n
частин. Довжини утворених відрізків позначемо Δx₁,Δx₂…Δxᵤ,
проведемо лінії паралельно вісі ординат і одержимо прямокутники. Площа кожного
із них дорівнює f(xᵤ)Δxᵤ. Тому площа трапеції дорівнюватиме
Sᵤ=f(x₁)Δx₁+f(x₂)Δx₂+…f(xᵤ)Δxᵤ=∑f(xᵤ)Δxᵤ=∑yᵤΔxᵤ
Тому точніше значення суми отримаємо як границю суми Sᵤ
коли найбільша із довжин Δxᵤ наближається до нуля. Цю границю і називають
визначеним інтегралом і позначають символом ʃᵇₐf(x)dx=ʃₐᵇydy. Цей символ був введений Лейбніцем в
1686році. В ньому знак інтеграла являє собою подовжену букву S , яка є першою в
латинському слові summa, а ydy нагадує структуру доданків суми. Термін «інтеграл» (від латинського
integer-цілий тобто ціла площа) був запропонований в 1696р Іоганом Бернуллі і
затверджений Лейбніцем. Останнє позначення для визначеного інтегралу ввів
Ж.Фурє. числа а і в називають відповідно нижньою і верхньою межами
інтегрування. Функцію у= f(x) називають підінтегральною функцією.
7.Підсумок уроку.
Виставлення
оцінок.
8.Домашняя робота.
№1.
Під дією
сили 80Н пружина розтягується на 0,15м. Яку роботу потрібно виконати, щоб
розтягти її до 0,2м?
№2.
Швидкість руху точки V=18t-3t²(м/с).
Знайдіть :
1)шлях, пройдений точкою за 3с;
2)шлях, пройдений за третю
секунду;
3)шлях, пройдений до зупинки.
Повторити таблицю похідних.
Немає коментарів:
Дописати коментар